contas e mais contas FGQ

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<p>7. **Problema:** Qual é o valor de \( \sum_{k=1}^n \frac{k}{k+1} \)?</p><p>- **Resposta:** \(n - \frac{n}{n+1}\).</p><p>- **Explicação:** A série telescópica simplifica para \(n - \frac{1}{n+1}\).</p><p>8. **Problema:** Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \).</p><p>- **Resposta:** 2.</p><p>- **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital ou a identidade trigonométrica.</p><p>9. **Problema:** Determine o determinante da matriz</p><p>\[</p><p>\begin{bmatrix}</p><p>1 & 2 & 3 \\</p><p>4 & 5 & 6 \\</p><p>7 & 8 & 9</p><p>\end{bmatrix}.</p><p>\]</p><p>- **Resposta:** 0.</p><p>- **Explicação:** As linhas da matriz são linearmente dependentes.</p><p>10. **Problema:** Resolva \( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} = 2 \).</p><p>- **Resposta:** \(x = 3\).</p><p>- **Explicação:** Eleve ambos os lados ao quadrado e resolva a equação resultante.</p><p>11. **Problema:** Determine o valor de \( \int_0^\pi x \sin x \, dx \).</p><p>- **Resposta:** \(\pi\).</p><p>- **Explicação:** Usa integração por partes.</p><p>12. **Problema:** Encontre a soma dos primeiros \(n\) termos da série \( \frac{1}{1!} +</p><p>\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} \).</p><p>- **Resposta:** \( e - \frac{e^{(1)} - 1}{n!} \).</p><p>- **Explicação:** A série é uma aproximação para a função exponencial.</p><p>13. **Problema:** Resolva o sistema:</p><p>\[</p><p>\begin{cases}</p><p>2x + 3y = 7 \\</p><p>4x - y = 1</p><p>\end{cases}</p><p>\]</p><p>- **Resposta:** \(x = 2\), \(y = 1\).</p><p>- **Explicação:** Resolva o sistema por substituição ou eliminação.</p><p>14. **Problema:** Encontre o valor de \( \log_{10} 1000 \).</p><p>- **Resposta:** 3.</p><p>- **Explicação:** \(1000 = 10^3\), então \(\log_{10} 1000 = 3\).</p><p>15. **Problema:** Qual é a derivada de \( e^{x^2} \)?</p><p>- **Resposta:** \(2xe^{x^2}\).</p><p>- **Explicação:** Usa a regra da cadeia.</p><p>16. **Problema:** Resolva \( x^2 + 2xy + y^2 = 16 \) para \(x\) e \(y\).</p><p>- **Resposta:** A solução geral é um círculo com raio 4 centrado na origem.</p><p>- **Explicação:** A equação é a forma expandida da equação do círculo \((x+y)^2 = 16\).</p><p>17. **Problema:** Determine o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \).</p><p>- **Resposta:** 1.</p><p>- **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln x\), então \(\ln e - \ln 1 = 1\).</p><p>18. **Problema:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x}{2x^2 - x} \)?</p><p>- **Resposta:** \(\frac{5}{2}\).</p><p>- **Explicação:** Divide todos os termos pelo maior termo em \(x\), que é \(x^2\).</p><p>19. **Problema:** Resolva a equação \( \cos x + \sin x = 1 \).</p><p>- **Resposta:** \(x = \frac{\pi}{4}\) (ou mais soluções periódicas).</p><p>- **Explicação:** A solução ocorre quando \(\cos x\) e \(\sin x\) são ambos</p><p>\(\frac{\sqrt{2}}{2}\).</p><p>20. **Problema:** Determine o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \).</p><p>- **Resposta:** \(-\frac{1}{x^2}\).</p><p>- **Explicação:** Derivada de \(x^{-1}\) é \(-x^{-2}\).</p><p>21. **Problema:** Resolva \( \sqrt{2x + 5} - \sqrt{x + 1} = 2 \).</p><p>- **Resposta:** \(x = 2\).</p><p>- **Explicação:** Isolar uma das raízes e elevar ao quadrado.</p><p>22. **Problema:** Determine a soma dos quadrados dos primeiros 10 números naturais.</p><p>- **Resposta:** 385.</p><p>- **Explicação:** A fórmula é \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) para \(n = 10\).</p><p>23. **Problema:** Qual é o valor de \( \log_2 64 \)?</p><p>- **Resposta:** 6.</p><p>- **Explicação:** \(64 = 2^6\), então \(\log_2 64 = 6\).</p><p>24. **Problema:** Encontre a área de um triângulo com vértices em \((0,0)\), \((1,0)\) e</p><p>\((0,1)\).</p><p>- **Resposta:** \(\frac{1}{2}\).</p><p>- **Explicação:** Usando a fórmula da área de um triângulo com vértices nas coordenadas.</p><p>25. **Problema:** Resolva o polinômio \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \).</p><p>- **Resposta:** \(x = \pm 1\) e \(x = \pm 2\).</p><p>- **Explicação:** Substitua \( y = x^2 \) e resolva a equação quadrática.</p><p>26. **Problema:** Qual é a raiz quadrada de 50 simplificada?</p><p>- **Resposta:** \(5\sqrt{2}\).</p><p>- **Explicação:** Fatorize 50 como \(25 \times 2\) e tire a raiz quadrada.</p><p>27. **Problema:** Determine o valor de \( \int e^{-x^2} \, dx \).</p><p>- **Resposta:** Não há uma antiderivada expressa em termos de funções elementares.</p><p>- **Explicação:** A integral é conhecida como a função erro, \(\text{erf}(x)\).</p><p>28. **Problema:** Qual é a soma dos ângulos internos de um octaedro?</p><p>- **Resposta:** \(2160^\circ\).</p><p>- **Explicação:** Um octaedro tem 8 faces triangulares, e a soma dos ângulos internos é</p><p>dada por \(180 \times \text{número de faces} - \text{ângulos em comum}\).</p><p>29. **Problema:** Encontre o valor de \( \log_{10} 100 \).</p><p>- **Resposta:** 2.</p><p>- **Explicação:** \(100 = 10^2\), então \(\log_{10} 100 = 2\).</p><p>30. **Problema:** Resolva \( x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0 \).</p><p>- **Resposta:** \(x = 2\) e \(x = -3\), com uma raiz quadrática restante.</p><p>- **Explicação:** Fatorize o polinômio por tentativa e erro ou pelo método de fatoração.</p><p>31. **Problema:** Determine o valor de \( \int_0^1 x^2 \ln x \, dx \).</p><p>- **Resposta:** \(-\frac{1}{9}\).</p><p>- **Explicação:** Usa integração por partes.</p><p>32. **Problema:** Qual é a solução geral da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0</p><p>\)?</p><p>- **Resposta:** \(y = A \cos x + B \sin x\).</p><p>- **Explicação:** A equação diferencial é uma equação diferencial linear homogênea com</p><p>coeficientes constantes.</p>