Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). Resposta: 2. Explicação: Usando a regra de L'Hôpital ou a identidade trigonométrica.

Para encontrar o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital ou uma identidade trigonométrica. 1. Usando a regra de L'Hôpital: - O limite é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \) quando \( x \to 0 \). - Derivamos o numerador e o denominador: \[ \text{Numerador: } \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = 2\cos(2x) \] \[ \text{Denominador: } \frac{d}{dx}(x) = 1 \] - Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x)}{1} = 2\cos(0) = 2 \] 2. Usando a identidade trigonométrica: - Sabemos que \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \). - Se substituirmos \( u = 2x \), temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 \] Portanto, o valor do limite é \( 2 \).