Para calcular a integral \(\int x \cdot \arctan(x) \, dx\), você pode usar o método de integração por partes. Vamos seguir os passos: 1. Escolha \(u\) e \(dv\): - \(u = \arctan(x)\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{1+x^2} \, dx\) - \(dv = x \, dx\) \(\Rightarrow v = \frac{x^2}{2}\) 2. Aplique a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 3. Substitua os valores: \[ \int x \cdot \arctan(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx \] 4. Simplifique a integral restante: \[ \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} \, dx = \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) \, dx \] \[ = \frac{1}{2} \left( x - \arctan(x) \right) \] 5. Combine os resultados: \[ \int x \cdot \arctan(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} \left( x - \arctan(x) \right) + C \] 6. Simplifique: \[ = \frac{x^2 \arctan(x)}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C \] 7. Combine os termos: \[ = \frac{x^2 \arctan(x)}{2} - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \] Portanto, a resposta final é: \[ \int x \cdot \arctan(x) \, dx = \frac{x^2 \arctan(x)}{2} - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \]