Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx\), você pode usar a decomposição em frações parciais. O denominador \(x^2 - 1\) pode ser fatorado como \((x - 1)(x + 1)\). 1. Decomposição em frações parciais: \[ \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} \] Multiplicando ambos os lados por \(x^2 - 1\): \[ 1 = A(x + 1) + B(x - 1) \] Resolvendo para \(A\) e \(B\), você encontrará \(A = \frac{1}{2}\) e \(B = -\frac{1}{2}\). 2. Reescrevendo a integral: \[ \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \int \left( \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1} \right) dx \] 3. Integrando: \[ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} \, dx \] \[ = \frac{1}{2} \ln |x - 1| - \frac{1}{2} \ln |x + 1| + C \] 4. Simplificando: \[ = \frac{1}{2} \left( \ln |x - 1| - \ln |x + 1| \right) + C \] \[ = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C \] Portanto, a resposta final é: \[ \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C \]