Problema: Determine o máximo e o mínimo de \( f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2 \).

Para determinar o máximo e o mínimo da função \( f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2 \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar a derivada: \[ f'(x) = -3x^2 + 6x \] 2. Igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: \[ -3x^2 + 6x = 0 \] Fatorando: \[ -3x(x - 2) = 0 \] Portanto, \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 3. Determinar a concavidade usando a segunda derivada: \[ f''(x) = -6x + 6 \] 4. Avaliar a segunda derivada nos pontos críticos: - Para \( x = 0 \): \[ f''(0) = -6(0) + 6 = 6 \quad (\text{mínimo}) \] - Para \( x = 2 \): \[ f''(2) = -6(2) + 6 = -6 \quad (\text{máximo}) \] 5. Calcular os valores de \( f(x) \) nos pontos críticos: - \( f(0) = -0^3 + 3(0)^2 + 2 = 2 \) - \( f(2) = -2^3 + 3(2)^2 + 2 = -8 + 12 + 2 = 6 \) 6. Conclusão: - O valor máximo é \( f(2) = 6 \) (em \( x = 2 \)). - O valor mínimo é \( f(0) = 2 \) (em \( x = 0 \)). Portanto, o máximo de \( f(x) \) é 6 e o mínimo é 2.