Calcule a integral \(\int \frac{x^3}{x^2 + 1} \, dx\). Resposta: \(\frac{1}{2} x^2 - \ln|x^2 + 1| + C\).

Para calcular a integral \(\int \frac{x^3}{x^2 + 1} \, dx\), podemos usar a técnica de divisão polinomial e substituição. Vamos passo a passo: 1. Divisão Polinomial: Divida \(x^3\) por \(x^2 + 1\): \[ x^3 = (x^2 + 1)(x) - x \] Portanto, podemos reescrever a integral: \[ \int \frac{x^3}{x^2 + 1} \, dx = \int \left( x - \frac{x}{x^2 + 1} \right) \, dx \] 2. Separar as Integrais: \[ \int x \, dx - \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \] 3. Calcular a primeira integral: \[ \int x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \] 4. Calcular a segunda integral: Para \(\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx\), usamos a substituição \(u = x^2 + 1\), então \(du = 2x \, dx\) ou \(\frac{1}{2} du = x \, dx\): \[ \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \] 5. Juntando tudo: \[ \int \frac{x^3}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \] Portanto, a resposta correta é: \[ \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \] Se precisar de mais ajuda, é só avisar!