Determine o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\). Resposta: -\(\frac{1}{2}\).

Para determinar o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\), podemos usar a série de Taylor para \(\cos(x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \ldots \] Substituindo na expressão do limite: \[ \cos(x) - 1 = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \ldots \] Assim, temos: \[ \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = \frac{-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \ldots}{x^2} = -\frac{1}{2} + \frac{x^2}{24} - \ldots \] Quando \(x\) se aproxima de 0, os termos que contêm \(x^2\) e superiores tendem a 0. Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = -\frac{1}{2} \] Portanto, a resposta está correta: \(-\frac{1}{2}\).