contas e mais contas A2Y

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<p>**Explicação:** O crescimento exponencial de \(2^x\) domina o crescimento polinomial de</p><p>\(x^2\).</p><p>44. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\ln|\ln(x)| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \(u = \ln(x)\).</p><p>45. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{\arctan(x)}{x}\).</p><p>**Resposta:** \(f'(x) = \frac{1 - x \cdot \frac{1}{1 + x^2}}{x^2}\).</p><p>**Explicação:** Use a regra do quociente para derivar a função.</p><p>46. **Problema:** Determine o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\).</p><p>**Resposta:** -\(\frac{1}{2}\).</p><p>**Explicação:** Use a série de Taylor para \(\cos(x)\) ou aplique a regra do L'Hôpital.</p><p>47. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} - \frac{1}{3} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 + 1\).</p><p>48. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{e^x}{x^2}\).</p><p>**Resposta:** \(f'(x) = \frac{e^x (x^2 - 2x)}{x^4}\).</p><p>**Explicação:** Use a regra do quociente para derivar a função.</p><p>49. **Problema:** Determine o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{6}\).</p><p>**Explicação:** Use a série de Taylor para \(\sin(x)\) ou aplique a regra do L'Hôpital.</p><p>50. **Problema:** Calcule a integral \(\int x^2 \ln(x) \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + C\).</p><p>**Explicação:** Use integração por partes.</p><p>51. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4}\).</p><p>**Resposta:** \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}\).</p><p>**Explicação:** Use a regra da cadeia para derivar a raiz quadrada.</p><p>52. **Problema:** Determine o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x^2}\).</p><p>**Resposta:** 1.</p><p>**Explicação:** Use a série de Taylor para \(e^{x^2}\) ou aplique a regra do L'Hôpital.</p><p>53. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{x^3}{x^2 + 1} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{2} x^2 - \ln|x^2 + 1| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a divisão polinomial e integre cada termo separadamente.</p><p>54. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \arctan(x^2)\).</p><p>**Resposta:** \(f'(x) = \frac{2x}{1 + x^4}\).</p><p>**Explicação:** Use a regra da cadeia para derivar a função arco tangente.</p><p>55. **Problema:** Determine o limite de \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 7}{2</p><p>x^2 + 5}\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{3}{2}\).</p><p>**Explicação:** Divida o numerador e o denominador pelo termo de maior grau \(x^2\).</p><p>56. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{(\ln(x))^2}{2} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \(u = \ln(x)\).</p><p>57. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \cos(x^3)\).</p><p>**Resposta:** \(f'(x) = -3x^2 \sin(x^3)\).</p><p>**Explicação:** Use a regra da cadeia para derivar a função.</p><p>58. **Problema:** Determine o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x}\).</p><p>**Resposta:** 1.</p><p>**Explicação:** Use a série de Taylor ou aplique a regra do L'Hôpital.</p><p>59. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left(\frac{x + 1}{\sqrt{2}}\right) + C\).</p><p>**Explicação:** Complete o quadrado no denominador e use a fórmula para a integral da</p><p>função arco tangente.</p><p>60. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 2x + 3)\).</p><p>**Resposta:** \(f'(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 3}\).</p><p>**Explicação:** Use a regra da cadeia e a derivada de \(\ln(u)\).</p><p>61. **Problema:** Determine o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)}\).</p><p>**Resposta:** 0.</p><p>**Explicação:** Use a série de Taylor para \(\sin(x)\) ou aplique a regra do L'Hôpital.</p><p>62. **Problema:** Calcule a integral \(\int x^2 e^{-x^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{e^{-x^2}}{2} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\).</p><p>63. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = e^{\sin(x)}\).</p><p>**Resposta:** \(f'(x) = e^{\sin(x)} \cos(x)\).</p><p>**Explicação:** Use a regra da cadeia para a derivada da função exponencial composta.</p><p>64. **Problema:** Determine o limite de \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{2 \ln(x)}\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{2}\).</p><p>**Explicação:** Use propriedades de logaritmos e o conceito de limite.</p><p>65. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^2 \ln(x)}\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{\ln|\ln(x)|}{x} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \(u = \ln(x)\).</p><p>66. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \arctan(\frac{1}{x})\).</p><p>**Resposta:** \(f'(x) = -\frac{1}{x^2 + 1}\).</p><p>**Explicação:** Use a regra da cadeia para derivar a função arco tangente.</p><p>67. **Problema:** Determine o limite de \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^3}\).</p><p>**Resposta:** \(\infty\).</p><p>**Explicação:** O crescimento exponencial de \(e^x\) domina o crescimento polinomial de</p><p>\(x^3\).</p><p>68. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{2\sqrt{x}}{3} - \ln|x + 1| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \(u = \sqrt{x}\).</p><p>69. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(\sin(x))\).</p><p>**Resposta:** \(f'(x) = \cot(x)\).</p><p>**Explicação:** Use a regra da cadeia e a derivada de \(\ln(u)\).</p><p>70. **Problema:** Determine o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\).</p><p>**Resposta:** 2.</p><p>**Explicação:** Use a série de Taylor para \(\sin(2x)\) ou aplique a regra do L'Hôpital.</p><p>71. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 1}}\).</p><p>**Resposta:** \(\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição trigonométrica \(x = \sec(\theta)\).</p><p>72. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{\cos(x)}{x}\).</p><p>**Resposta:** \(f'(x) = \frac{-x \sin(x) - \cos(x)}{x^2}\).</p><p>**Explicação:** Use a regra do quociente para derivar a função.</p><p>73. **Problema:** Determine o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{x \ln(x + 1)}{x^2}\).</p>