Problema: Resolva a equação \( rac{x - 1}{x^2 - 4} = rac{1}{2} \).

Para resolver a equação \[ \frac{x - 1}{x^2 - 4} = \frac{1}{2}, \] vamos seguir os passos: 1. Multiplicar em cruz para eliminar as frações: \[ 2(x - 1) = 1(x^2 - 4). \] 2. Expandir ambos os lados: \[ 2x - 2 = x^2 - 4. \] 3. Reorganizar a equação para que todos os termos fiquem de um lado: \[ x^2 - 2x - 2 = 0. \] 4. Usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática \(ax^2 + bx + c = 0\), onde \(a = 1\), \(b = -2\) e \(c = -2\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \] 5. Calcular o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12. \] 6. Substituir na fórmula: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}. \] 7. As soluções são: \[ x_1 = 1 + \sqrt{3} \quad \text{e} \quad x_2 = 1 - \sqrt{3}. \] 8. Verificar se as soluções não tornam o denominador zero: O denominador \(x^2 - 4\) se anula para \(x = 2\) e \(x = -2\). Ambas as soluções \(1 + \sqrt{3}\) e \(1 - \sqrt{3}\) não são iguais a 2 ou -2, então estão válidas. Portanto, as soluções da equação são: \[ x = 1 + \sqrt{3} \quad \text{e} \quad x = 1 - \sqrt{3}. \]