Encontre a integral indefinida de \( \int \sin^3(x) \, dx \). Resposta: \( \frac{2 \sin(x) - \sin^3(x)}{3} + C \).

Para encontrar a integral indefinida de \( \int \sin^3(x) \, dx \), podemos usar a identidade de redução e a substituição. 1. Identidade: Podemos reescrever \( \sin^3(x) \) como \( \sin(x) \cdot \sin^2(x) \) e usar a identidade \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \): \[ \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) = \sin(x) - \sin(x)\cos^2(x) \] 2. Integral: Agora, podemos separar a integral: \[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin(x) \, dx - \int \sin(x)\cos^2(x) \, dx \] 3. Primeira parte: A integral de \( \sin(x) \) é: \[ -\cos(x) \] 4. Segunda parte: Para \( \int \sin(x)\cos^2(x) \, dx \), podemos usar a substituição \( u = \cos(x) \), então \( du = -\sin(x) \, dx \): \[ \int \sin(x)\cos^2(x) \, dx = -\int u^2 \, du = -\frac{u^3}{3} = -\frac{\cos^3(x)}{3} \] 5. Resultado final: Juntando tudo, temos: \[ \int \sin^3(x) \, dx = -\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3} + C \] A resposta que você forneceu, \( \frac{2 \sin(x) - \sin^3(x)}{3} + C \), não está correta. O resultado correto é: \[ -\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3} + C \] Se precisar de mais ajuda, é só avisar!