Encontre a integral indefinida de \( \int x e^{-x^2} \, dx \). Resposta: \( -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \).

Para resolver a integral indefinida \( \int x e^{-x^2} \, dx \), podemos usar a técnica de substituição. 1. Substituição: Vamos fazer a substituição \( u = -x^2 \). Assim, temos \( du = -2x \, dx \) ou \( dx = -\frac{du}{2x} \). 2. Substituindo na integral: \[ \int x e^{-x^2} \, dx = \int x e^{u} \left(-\frac{du}{2x}\right) = -\frac{1}{2} \int e^{u} \, du \] 3. Integrando: \[ -\frac{1}{2} e^{u} + C \] 4. Voltando à variável original: \[ -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \] Portanto, a resposta correta é \( -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \). A resposta apresentada está correta!