Encontre a integral definida de \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). Resposta: \( \ln|\ln(2)| - \ln|\ln(1)| = \ln(\ln(2)) \).

Para resolver a integral definida \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = \ln(x) \). Assim, temos: 1. \( du = \frac{1}{x} \, dx \) ou \( dx = x \, du = e^u \, du \). 2. Quando \( x = 1 \), \( u = \ln(1) = 0 \). 3. Quando \( x = 2 \), \( u = \ln(2) \). Substituindo na integral, obtemos: \[ \int_{0}^{\ln(2)} \frac{1}{u} \, du \] A integral de \( \frac{1}{u} \) é \( \ln|u| \). Portanto, avaliamos: \[ \left[ \ln|u| \right]_{0}^{\ln(2)} = \ln(\ln(2)) - \lim_{u \to 0^+} \ln|u| \] Como \( \ln(0) \) tende a \( -\infty \), a integral diverge. Portanto, a resposta correta é que a integral não é definida no intervalo dado, pois a função \( \frac{1}{x \ln(x)} \) tem uma singularidade em \( x = 1 \).