Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar o centro da circunferência e, em seguida, calcular a distância desse ponto até a reta. 1. Encontrar o centro da circunferência: A equação da circunferência é dada por: \[ 2x^2 + 2y^2 - 2x + 6y - 6 = 0 \] Dividindo toda a equação por 2, temos: \[ x^2 + y^2 - x + 3y - 3 = 0 \] Agora, vamos completar o quadrado para \(x\) e \(y\). Para \(x\): \[ x^2 - x \rightarrow (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \] Para \(y\): \[ y^2 + 3y \rightarrow (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \] Substituindo na equação: \[ (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 3 = 0 \] Simplificando: \[ (x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 = 4 \] O centro da circunferência é \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right)\). 2. Encontrar a distância até a reta: A equação da reta é: \[ 3y - 4x - 1 = 0 \] Usando a fórmula da distância de um ponto \((x_0, y_0)\) a uma reta \(Ax + By + C = 0\): \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Aqui, \(A = -4\), \(B = 3\), \(C = -1\) e o ponto é \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right)\). Substituindo: \[ d = \frac{|-4(\frac{1}{2}) + 3(-\frac{3}{2}) - 1|}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}} = \frac{|-2 - \frac{9}{2} - 1|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-2 - 4.5 - 1|}{5} = \frac{|-7.5|}{5} = \frac{7.5}{5} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \] Portanto, a distância entre o centro da circunferência e a reta é \(1,5\). A alternativa correta é: e) 1 5.