Se x e y são dois números reais tais que 4x2 + 9y2 − 4x + 12y + 5 = 0, então x + y é igual a (A) 5 (B) −1 (C) 1 (D) −1 (E) 1

Para resolver a equação \(4x^2 + 9y^2 - 4x + 12y + 5 = 0\), vamos reescrevê-la de forma a identificar se podemos completar o quadrado. 1. Agrupando os termos de \(x\) e \(y\): \[ 4x^2 - 4x + 9y^2 + 12y + 5 = 0 \] 2. Completando o quadrado para \(x\): - O termo \(4x^2 - 4x\) pode ser reescrito como: \[ 4(x^2 - x) = 4\left(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) = 4\left((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right) = 4(x - \frac{1}{2})^2 - 1 \] 3. Completando o quadrado para \(y\): - O termo \(9y^2 + 12y\) pode ser reescrito como: \[ 9(y^2 + \frac{4}{3}y) = 9\left(y^2 + \frac{4}{3}y + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}\right) = 9\left((y + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}\right) = 9(y + \frac{2}{3})^2 - 4 \] 4. Substituindo de volta na equação: \[ 4(x - \frac{1}{2})^2 - 1 + 9(y + \frac{2}{3})^2 - 4 + 5 = 0 \] Simplificando: \[ 4(x - \frac{1}{2})^2 + 9(y + \frac{2}{3})^2 = 0 \] 5. Analisando a equação: A soma de quadrados só é igual a zero se ambos os quadrados forem zero. Portanto: \[ 4(x - \frac{1}{2})^2 = 0 \quad \text{e} \quad 9(y + \frac{2}{3})^2 = 0 \] Isso implica que: \[ x - \frac{1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \] \[ y + \frac{2}{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{2}{3} \] 6. Calculando \(x + y\): \[ x + y = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{1}{6} \] Nenhuma das alternativas corresponde a \(-\frac{1}{6}\). Parece que houve um erro nas opções ou na interpretação da questão. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a equação foi transcrita corretamente.