Para resolver a soma \( S = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{999} + \sqrt{1000}} \), podemos usar a técnica de racionalização do denominador. Racionalizando cada termo, temos: \[ \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \cdot \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \] Assim, a soma se transforma em uma série telescópica: \[ S = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \ldots + (\sqrt{1000} - \sqrt{999}) \] Os termos intermediários se cancelam, e ficamos com: \[ S = \sqrt{1000} - \sqrt{1} = \sqrt{1000} - 1 = 10\sqrt{10} - 1 \] Portanto, a resposta correta é a) \( 10\sqrt{10} - 1 \).