Para que a operação binária \( x * y = px + qy + 2xy \) seja comutativa, precisamos que \( x * y = y * x \) para todos os \( x \) e \( y \). Vamos calcular \( y * x \): \[ y * x = py + qx + 2yx \] Agora, igualamos as duas expressões: \[ px + qy + 2xy = py + qx + 2yx \] Rearranjando, temos: \[ px + qy + 2xy = py + qx + 2xy \] Cancelando \( 2xy \) de ambos os lados, ficamos com: \[ px + qy = py + qx \] Agora, isolando os termos, temos: \[ px - qx = py - qy \] Fatorando, obtemos: \[ (p - q)x = (p - q)y \] Para que isso seja verdadeiro para todos os \( x \) e \( y \), precisamos que \( p - q = 0 \), ou seja, \( p = q \). Agora, analisando as alternativas: A) \( p = 2 \) - Não garante que \( p = q \). B) \( p \neq q \) - Isso contradiz a condição que encontramos. C) \( p < q \) - Também não garante que \( p = q \). D) \( p > 9 \) - Não garante que \( p = q \). E) \( p = q \) - Esta é a condição que encontramos para a comutatividade. Portanto, a alternativa correta é: E) p = q.