Mapa Tailane Chagas - ESTRUTURAS ALGEBRICAS

Prévia do material em texto

<p>MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem</p><p>Acadêmico: Tailane Maria de Sousa Chagas</p><p>R.A. 24137866-5</p><p>Curso: Licenciatura em Matemática</p><p>Disciplina: Estruturas Algébricas</p><p>a) Para mostrar que o conjunto G é um subgrupo do grupo , que é o grupo dos números reais excluindo o zero com a operação de multiplicação, precisamos verificar que G satisfaz as propriedades de um subgrupo. Um subgrupo é um subconjunto de um grupo que forma um grupo por si só. As propriedades que devem ser verificadas são:</p><p>1. O subconjunto não está vazio.</p><p>2. Para quaisquer dois elementos a e b em G, o produto  também está em G.</p><p>3. Para cada elemento a em G, o inverso de a (ou seja, ) está em G.</p><p>Vamos verificar essas propriedades para o conjunto G:</p><p>1. O conjunto G é formado por todos os números reais da forma , onde m e n são números inteiros. Como  e , o elemento neutro da multiplicação, que é 1, está em G. Portanto, G não está vazio.</p><p>2. Para quaisquer dois elementos  e  em G, o produto  é dado por:</p><p>Como a soma de dois números inteiros é um número inteiro, m + p e n + q são números inteiros. Portanto,  está em G.</p><p>3. Agora, para verificar a existência do inverso, considere um elemento  em G. O inverso de a em  é , e neste caso, é igual a . Como m e n são inteiros, -m e -n também são inteiros, e portanto,  está em G.</p><p>Portanto, o conjunto G satisfaz todas as propriedades de um subgrupo, o que significa que G é de fato um subgrupo do grupo .</p><p>b) Podemos notar que J é igual ao conjunto dos números complexos da forma m + in, onde m e n são inteiros. Portanto, J é um subconjunto de .</p><p>Além disso, J é fechado sob a operação de soma, pois para todo , temos que:</p><p>Portanto, J é um subgrupo de .</p><p>c) Para mostrar que os grupos  e  são isomorfos através da função , precisamos seguir os seguintes passos:</p><p>· Homomorfismo de grupos: Para mostrar que  é um homomorfismo de grupos, precisamos verificar se, para todos os elementos a e b em J, temos . Seja  e , então , e . Por outro lado, . Portanto, , o que mostra que  é um homomorfismo de grupos.</p><p>· Injetividade: Para mostrar que  é injetora, precisamos verificar se, para todos os elementos a e b em J, se , então a = b. Seja  e , se temos , então . Como as bases 2 e 3 são diferentes e  são inteiros, isso implica que . Portanto, a = b, o que mostra que  é injetora.</p><p>· Sobrejetividade: Para mostrar que  é sobrejetora, precisamos verificar se, para todo elemento g em G, existe um elemento j em J tal que . Como G é o conjunto de todos os números da forma  com m e n inteiros, e J é o conjunto de todos os números da forma m + in com m e n inteiros, para qualquer g em G, podemos escolher j em J tal que j = m + in, onde m e n são os expoentes de 2 e 3 em g, respectivamente. Portanto, , o que mostra que  é sobrejetora.</p><p>· Isomorfismo de grupo: Como mostramos que  é um homomorfismo de grupos injetor e sobrejetor, podemos concluir que  é um isomorfismo de grupos.</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p><p>image17.png</p><p>image18.png</p><p>image19.png</p><p>image20.png</p><p>image21.png</p><p>image22.png</p><p>image23.png</p><p>image24.png</p><p>image25.png</p><p>image26.png</p><p>image27.png</p><p>image28.png</p><p>image29.png</p><p>image30.png</p><p>image31.png</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p><p>image32.png</p>