Para resolver a questão, primeiro precisamos calcular o valor de \( x \) para que a distância entre os pontos \( A(x, -1) \) e \( B(3, 2) \) seja igual a 5 unidades. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Substituindo os pontos \( A(x, -1) \) e \( B(3, 2) \): \[ 5 = \sqrt{(3 - x)^2 + (2 - (-1))^2} \] Simplificando: \[ 5 = \sqrt{(3 - x)^2 + 3^2} \] \[ 5 = \sqrt{(3 - x)^2 + 9} \] Elevando ambos os lados ao quadrado: \[ 25 = (3 - x)^2 + 9 \] \[ 25 - 9 = (3 - x)^2 \] \[ 16 = (3 - x)^2 \] Agora, tiramos a raiz quadrada: \[ 4 = |3 - x| \] Isso nos dá duas equações: 1. \( 3 - x = 4 \) → \( x = -1 \) 2. \( 3 - x = -4 \) → \( x = 7 \) Portanto, as soluções para \( x \) são \( -1 \) e \( 7 \). Agora, vamos analisar as sentenças: I. Há apenas uma possibilidade positiva com \( x = 7 \). Falso, pois também temos \( x = -1 \). II. Se trocarmos o ponto \( B \) por \( C(x, 6) \), o conjunto solução para \( x \) é o mesmo. Falso, pois a distância entre \( A(x, -1) \) e \( C(x, 6) \) não será a mesma. III. Caso \( x = 0 \), a distância não será de 5 unidades. Verdadeiro, pois a distância entre \( A(0, -1) \) e \( B(3, 2) \) é maior que 5. IV. Há duas soluções reais. Verdadeiro, pois encontramos \( x = -1 \) e \( x = 7 \). Agora, vamos verificar as alternativas: A) Somente as sentenças II e III estão corretas. Falso. B) Somente as sentenças II e IV estão corretas. Falso. C) Somente as sentenças I, III e IV estão corretas. Falso. D) Somente as sentenças I, II e IV estão corretas. Falso. Nenhuma das alternativas está correta, pois as sentenças III e IV são verdadeiras, mas as outras são falsas. Portanto, você precisa criar uma nova pergunta.