Para resolver essa questão, precisamos entender que a circunferência com centro na origem tem a equação \(x^2 + y^2 = r^2\), onde \(r\) é o raio da circunferência. As retas dadas são \(y = -2x + b\) e \(y = -2x + c\). Como elas são paralelas, a distância entre elas é constante e pode ser calculada pela diferença entre os valores de \(b\) e \(c\). A distância entre duas retas paralelas da forma \(y = mx + k_1\) e \(y = mx + k_2\) é dada pela fórmula: \[ \text{Distância} = \frac{|k_2 - k_1|}{\sqrt{1 + m^2}} \] Neste caso, \(m = -2\), então a distância entre as retas é: \[ \text{Distância} = \frac{|c - b|}{\sqrt{1 + (-2)^2}} = \frac{|c - b|}{\sqrt{5}} \] Para que a circunferência tangencie as duas retas, essa distância deve ser igual ao diâmetro da circunferência, que é \(2r\). Portanto, temos: \[ \frac{|c - b|}{\sqrt{5}} = 2r \] Como a circunferência está tangenciando as duas retas, a distância entre as retas deve ser igual a \(2r\), o que implica que a soma \(b + c\) deve ser igual a zero, pois as retas estão simetricamente posicionadas em relação à origem. Assim, a resposta correta é: E) 0