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Cálculo Diferencial

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Leia o trecho de texto a seguir: "Na equação da curva, em que y=f(x)y=f(x), considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][a,b] e sendo a função f(x)f(x) maior que e igual a zero, com xx sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][a,b], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√1+[f′(x)]2dxA=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dx". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2, no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor:

A 25π√2025π20 u.a.
B 20π√1020π10 u.a.
C 22π√1222π12 u.a.
D 23π√1323π13 u.a.
E 21π√1521π15 u.a.
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Questões para Estudantes

há 2 anos

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Cálculo Diferencial e Integral
27 pág.

Cálculo Diferencial e Integral

Respostas

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há 2 anos

Para calcular a área da superfície gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação \( y = 3x + 2 \) no intervalo fechado \([0, 2]\) em torno do eixo das abscissas, utilizamos a fórmula: \[ A = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx \] 1. Encontrar \( f(x) \): - Aqui, \( f(x) = 3x + 2 \). 2. Calcular a derivada \( f'(x) \): - \( f'(x) = 3 \). 3. Substituir na fórmula: - \( \sqrt{1 + [f'(x)]^2} = \sqrt{1 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \). 4. Montar a integral: - Agora, substituímos na fórmula da área: \[ A = 2\pi \int_0^2 (3x + 2) \sqrt{10} \, dx \] 5. Calcular a integral: - Fatorando \( \sqrt{10} \): \[ A = 2\pi \sqrt{10} \int_0^2 (3x + 2) \, dx \] - A integral de \( (3x + 2) \) é: \[ \int (3x + 2) \, dx = \frac{3}{2}x^2 + 2x \] - Avaliando de 0 a 2: \[ \left[ \frac{3}{2}(2^2) + 2(2) \right] - \left[ \frac{3}{2}(0^2) + 2(0) \right] = \left[ \frac{3}{2}(4) + 4 \right] = 6 + 4 = 10 \] 6. Substituir na fórmula da área: \[ A = 2\pi \sqrt{10} \cdot 10 = 20\pi \sqrt{10} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( 25\pi\sqrt{20} \) B) \( 20\pi\sqrt{10} \) C) \( 22\pi\sqrt{12} \) D) \( 23\pi\sqrt{13} \) E) \( 21\pi\sqrt{15} \) A alternativa correta é: B) \( 20\pi\sqrt{10} \).

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Cálculo Diferencial e Integral
27 pág.

Cálculo Diferencial e Integral

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis

Leia o excerto de texto a seguir:

"Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo escalar". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86.

Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de f no ponto P=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).

A ∂f∂⃗u(35,−13)=85.
B ∂f∂⃗u(35,−13)=−135.
C ∂f∂⃗u(35,−13)=−65.
D −57.
E −85.

Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis

Leia o fragmento de texto a seguir:

"A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.

Considerando o fragmento de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.

A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.
B ∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y.
C ∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y.
D ∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z.
E ∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz.

Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis

Leia o trecho de texto a seguir:

"No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores de conjunto domínio de uma função Dm((f), expresso por (x1,x2,...,xn), com respectiva imagem da função Im(f) expressa por f(x1,x2,...,xn)." Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 76.

Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, identifique a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z) no ponto (2,3,5):

A 132
B 145
C 133
D 115
E 154

Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis

Leia o trecho de texto a seguir:

"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y) em relação a y, mantendo x fixo. Os limites de integração g(x) e h(x) dependerão desse valor fixo de x, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c e d". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.

Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida ∫21∫21xydydx:

A 94

Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto:

A 1212
B 3232
C 5252
D 7272
E 9292

Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z) no ponto (2,3,5):

A 132132
B 145145
C 133133
D 115115
E 154154

Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2, no intervalo fechado [0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor:

A 25π√2025π20 u.a.
B 20π√1020π10 u.a.
C 22π√1222π12 u.a.
D 23π√1323π13 u.a.
E 21π√1521π15 u.a.

Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o custo dessa produção: Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, suponha que a empresa fabrica, por mês, 30 unidades do produto x1, dez unidades do produto x2 e 50 unidades do produto x3.

A 120
B 150
C 180
D 280
E 350

Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.

A ∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13.
B ∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3.

Leia o texto a seguir: Sejam f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0) do domínio, e sejam as funções dadas por x(t) e y(t) diferenciáveis em t0, de modo que x(t0)=x0 e y(t0)=y0, então a função F composta por f com x e y é tal que: dF/dt = (∂f/∂x)·(dx/dt) + (∂f/∂y)·(dy/dt). Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função z=x³−4x²y+xy²−y³+1, onde x=sen(t) e y=cos(t), assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de z em relação à variável t:

A dz/dt=(3x²−8xy+y²)cos(t)+(4x²−2xy+3y²)sen(t).
B dz/dt=(3x²−8xy+y²)sen(t)+(4x²−2xy+3y²)sen(t).
C dz/dt=(3x²−8xy+y²)cos(t)+(4x²−2xy+3y²)cos(t).
D dz/dt=(−8xy+y²)cos(t)+(4x²−2xy)sen(t).
E dz/dt=(3x²−8xy+y²)cos(t).

Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y,z)=x²+y²|√z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R³/z>1}. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z) no ponto (2,3,5):

A 132
B 145
C 133
D 115
E 154

Leia o extrato de texto a seguir: '[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y) em relação a y, mantendo x fixo. Os limites de integração g(x) e h(x) dependerão desse valor fixo de x, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c e d'. Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida ∫21∫102xydydx:

A 11
B 32
C 12
D 52
E 22

Leia o trecho de texto a seguir: "No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores de conjunto domínio de uma função Dm((f)Dm((f), expresso por (x1,x2,...,xn)(x1,x2,...,xn), com respectiva imagem da função Im(f)Im(f) expressa por f(x1,x2,...,xn).f(x1,x2,...,xn)." Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 76. Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, identifique a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5):

A 132132
B 145145
C 133133
D 115115
E 154154

Leia o fragmento de texto a seguir: "A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Considerando o fragmento de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.

A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.
B ∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y.
C ∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y.
D ∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z.
E ∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz.

Leia o texto a seguir: Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o custo da fabricação, se x1=3, x2=1 e x3=4:

A 120
B 150
C 180
D 200
E 220

Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor das derivadas parciais, ao calcular a função f(x,y,z)=3x+5y−6z:

A fx=3;fy=5;fz=−6
B fx=−3;fy=−5;fz=−5
C fx=5;fy=3;fz=−6
D fx=6;fy=5;fz=−3
E fx=−6;fy=5;fz=3

Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.

A ∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13.
B ∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3.
C ∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x.
D ∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x.
E ∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x.

Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1, onde x=sent e y=cost, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de z em relação à variável t:

A dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.
B dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent.
C dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)cost.
D dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.
E dzdt=(3x2−8xy+y2)cost.

Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x,y,z)=x²+y²|√z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R³/z>1}, identifique a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z) no ponto (2,3,5):

A 132
B 145
C 133
D 115
E 154

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