Para encontrar a derivada de \( z \) em relação a \( t \), precisamos aplicar a regra da cadeia, conforme descrito no texto. A função dada é: \[ z = x^3 - 4x^2y + xy^2 - y^3 + 1 \] onde \( x = \sen(t) \) e \( y = \cos(t) \). Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de \( z \): 1. Derivada parcial de \( z \) em relação a \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 8xy + y^2 \] 2. Derivada parcial de \( z \) em relação a \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -4x^2 + 2xy - 3y^2 \] Agora, precisamos calcular \( \frac{dx}{dt} \) e \( \frac{dy}{dt} \): - \( x = \sen(t) \) implica que \( \frac{dx}{dt} = \cos(t) \) - \( y = \cos(t) \) implica que \( \frac{dy}{dt} = -\sen(t) \) Agora, aplicando a regra da cadeia: \[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \] Substituindo as derivadas parciais e as derivadas em relação a \( t \): \[ \frac{dz}{dt} = (3x^2 - 8xy + y^2) \cdot \cos(t) + (-4x^2 + 2xy - 3y^2) \cdot (-\sen(t)) \] Simplificando: \[ \frac{dz}{dt} = (3x^2 - 8xy + y^2) \cdot \cos(t) + (4x^2 - 2xy + 3y^2) \cdot \sen(t) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( dz/dt=(3x²−8xy+y²)\cos(t)+(4x²−2xy+3y²)\sen(t). \) - CORRETA B) \( dz/dt=(3x²−8xy+y²)\sen(t)+(4x²−2xy+3y²)\sen(t). \) - FALSA C) \( dz/dt=(3x²−8xy+y²)\cos(t)+(4x²−2xy+3y²)\cos(t). \) - FALSA D) \( dz/dt=(−8xy+y²)\cos(t)+(4x²−2xy)\sen(t). \) - FALSA E) \( dz/dt=(3x²−8xy+y²)\cos(t). \) - FALSA Portanto, a alternativa correta é a A.