Para encontrar a derivada de \( z \) em relação a \( t \), precisamos aplicar a regra da cadeia, considerando que \( z \) é uma função de \( x \) e \( y \), que por sua vez são funções de \( t \). A função dada é: \[ z = x^3 - 4x^2y + xy^2 - y^3 + 1 \] onde \( x = \sen(t) \) e \( y = \cos(t) \). Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de \( z \) em relação a \( x \) e \( y \): 1. Derivada parcial de \( z \) em relação a \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 8xy + y^2 \] 2. Derivada parcial de \( z \) em relação a \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -4x^2 + 2xy - 3y^2 \] Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \] Sabemos que: - \( \frac{dx}{dt} = \cos(t) \) - \( \frac{dy}{dt} = -\sen(t) \) Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de \( x \) e \( y \): \[ \frac{dz}{dt} = (3x^2 - 8xy + y^2) \cdot \cos(t) + (-4x^2 + 2xy - 3y^2) \cdot (-\sen(t)) \] Agora, vamos simplificar: \[ \frac{dz}{dt} = (3x^2 - 8xy + y^2) \cdot \cos(t) + (4x^2 - 2xy + 3y^2) \cdot \sen(t) \] Agora, analisando as alternativas: A) \( dz/dt = (3x^2 - 8xy + y^2) \cos(t) + (4x^2 - 2xy + 3y^2) \sen(t) \) - CORRETA. B) \( dz/dt = (3x^2 - 8xy + y^2) \sen(t) + (4x^2 - 2xy + 3y^2) \sen(t) \) - INCORRETA. C) \( dz/dt = (3x^2 - 8xy + y^2) \cos(t) + (4x^2 - 2xy + 3y^2) \cos(t) \) - INCORRETA. D) \( dz/dt = (-8xy + y^2) \cos(t) + (4x^2 - 2xy) \sen(t) \) - INCORRETA. E) \( dz/dt = (3x^2 - 8xy + y^2) \cos(t) \) - INCORRETA. Portanto, a alternativa correta é a A.