Para calcular a área da superfície gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação \(y = 3x + 2\) no intervalo \([0, 2]\) em torno do eixo das abscissas, utilizamos a fórmula da área de superfície de revolução: \[ A = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] 1. Encontrar \(\frac{dy}{dx}\): A derivada de \(y = 3x + 2\) é: \[ \frac{dy}{dx} = 3 \] 2. Calcular \(\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\): \[ \sqrt{1 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] 3. Substituir na fórmula: Agora substituímos \(y\) e \(\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\) na fórmula da área: \[ A = 2\pi \int_{0}^{2} (3x + 2) \sqrt{10} \, dx \] 4. Calcular a integral: \[ A = 2\pi \sqrt{10} \int_{0}^{2} (3x + 2) \, dx \] A integral de \(3x + 2\) é: \[ \int (3x + 2) \, dx = \frac{3}{2}x^2 + 2x \] Avaliando de \(0\) a \(2\): \[ \left[\frac{3}{2}(2)^2 + 2(2)\right] - \left[\frac{3}{2}(0)^2 + 2(0)\right] = \left[\frac{3}{2}(4) + 4\right] = 6 + 4 = 10 \] 5. Substituir na fórmula da área: \[ A = 2\pi \sqrt{10} \cdot 10 = 20\pi \sqrt{10} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(25\pi\sqrt{2025\pi20}\) B) \(20\pi\sqrt{1020\pi10}\) C) \(22\pi\sqrt{1222\pi12}\) D) \(23\pi\sqrt{1323\pi13}\) E) \(21\pi\sqrt{1521\pi15}\) A alternativa que mais se aproxima do resultado que encontramos, \(20\pi\sqrt{10}\), é a B: \(20\pi\sqrt{1020\pi10}\), pois \(1020\) pode ser simplificado para \(10\). Portanto, a alternativa correta é B.