Questão 7 Determine as direções em que a derivada direcional de f(x, y) = ye−xy no ponto (0, 2) tem valor 1.

Para determinar as direções em que a derivada direcional da função \( f(x, y) = ye^{-xy} \) no ponto \( (0, 2) \) tem valor 1, siga os passos abaixo: 1. Calcule o gradiente da função: O gradiente \( \nabla f \) é dado por: \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] Primeiro, calcule as derivadas parciais: - Para \( \frac{\partial f}{\partial x} \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = -y^2 e^{-xy} \] - Para \( \frac{\partial f}{\partial y} \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = e^{-xy} - xye^{-xy} \] 2. Avalie o gradiente no ponto \( (0, 2) \): Substitua \( x = 0 \) e \( y = 2 \): \[ \frac{\partial f}{\partial x}(0, 2) = -2^2 e^{0} = -4 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y}(0, 2) = e^{0} - 0 = 1 \] Portanto, o gradiente no ponto \( (0, 2) \) é: \[ \nabla f(0, 2) = (-4, 1) \] 3. Direção da derivada direcional: A derivada direcional na direção de um vetor unitário \( \mathbf{u} = (u_1, u_2) \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = -4u_1 + 1u_2 \] Para que a derivada direcional seja igual a 1, temos: \[ -4u_1 + u_2 = 1 \] 4. Condições para \( \mathbf{u} \): Como \( \mathbf{u} \) é um vetor unitário, deve satisfazer: \[ u_1^2 + u_2^2 = 1 \] 5. Substitua \( u_2 \): Da equação \( -4u_1 + u_2 = 1 \), podemos expressar \( u_2 \) em termos de \( u_1 \): \[ u_2 = 1 + 4u_1 \] Substitua na condição de unidade: \[ u_1^2 + (1 + 4u_1)^2 = 1 \] \[ u_1^2 + (1 + 8u_1 + 16u_1^2) = 1 \] \[ 17u_1^2 + 8u_1 + 1 = 1 \] \[ 17u_1^2 + 8u_1 = 0 \] \[ u_1(17u_1 + 8) = 0 \] Portanto, \( u_1 = 0 \) ou \( u_1 = -\frac{8}{17} \). 6. Encontrar \( u_2 \): - Se \( u_1 = 0 \), então \( u_2 = 1 \). - Se \( u_1 = -\frac{8}{17} \): \[ u_2 = 1 + 4\left(-\frac{8}{17}\right) = 1 - \frac{32}{17} = -\frac{15}{17} \] 7. Direções: As direções em que a derivada direcional tem valor 1 são: - \( (0, 1) \) (direção vertical) - \( \left(-\frac{8}{17}, -\frac{15}{17}\right) \) Essas são as direções desejadas!