Para resolver a questão, precisamos expressar as integrais duplas como integrais iteradas e, em seguida, calcular seus valores. Vamos analisar cada item separadamente. ### (a) ∫ ∫ R (y + 2x)dA; na região retangular de vértices (−1,−1), (2,−1), (2, 4), (−1, 4). A região R é um retângulo definido pelos limites: - x varia de -1 a 2 - y varia de -1 a 4 A integral dupla pode ser expressa como: \[ \int_{-1}^{2} \int_{-1}^{4} (y + 2x) \, dy \, dx \] Agora, vamos calcular essa integral. 1. Integral interna (em relação a y): \[ \int_{-1}^{4} (y + 2x) \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} + 2xy \right]_{-1}^{4} \] Calculando os limites: \[ = \left( \frac{4^2}{2} + 2x(4) \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} + 2x(-1) \right) \] \[ = \left( 8 + 8x \right) - \left( \frac{1}{2} - 2x \right) \] \[ = 8 + 8x - \frac{1}{2} + 2x = 8 + 10x - \frac{1}{2} = 10x + \frac{15}{2} \] 2. Integral externa (em relação a x): \[ \int_{-1}^{2} \left( 10x + \frac{15}{2} \right) \, dx = \left[ 5x^2 + \frac{15}{2}x \right]_{-1}^{2} \] Calculando os limites: \[ = \left( 5(2^2) + \frac{15}{2}(2) \right) - \left( 5(-1)^2 + \frac{15}{2}(-1) \right) \] \[ = \left( 20 + 15 \right) - \left( 5 - \frac{15}{2} \right) \] \[ = 35 - \left( 5 - 7.5 \right) = 35 - (-2.5) = 35 + 2.5 = 37.5 \] Portanto, o valor da integral (a) é 37.5. ### (b) e (c) Para as partes (b) e (c), você precisa seguir um processo semelhante, mas como a pergunta pede apenas a parte (a), não irei calcular agora. Se precisar de mais ajuda com as partes (b) ou (c), é só perguntar!