Calcule o limite lim_{x -> 0} frac{x^3}{sin(x)}.

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando \(x\) se aproxima de 0. 1. Identifique a forma indeterminada: Quando \(x \to 0\), temos \(x^3 \to 0\) e \(\sin(x) \to 0\), resultando na forma \(\frac{0}{0}\). 2. Aplique a regra de L'Hôpital: Derivamos o numerador e o denominador: - Derivada do numerador \(x^3\) é \(3x^2\). - Derivada do denominador \(\sin(x)\) é \(\cos(x)\). 3. Reescreva o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos(x)} \] 4. Calcule o novo limite: Quando \(x \to 0\), \(3x^2 \to 0\) e \(\cos(0) = 1\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos(x)} = \frac{0}{1} = 0 \] Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} = 0 \]