Qual é o valor de \( \int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx \)? A) \( \frac{1}{2} \) B) \( \frac{3}{4} \) C) \( 1 \) D) \( \frac{5}{8} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \( 2x^3 \): \[ \int 2x^3 \, dx = \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 \] 2. Integral de \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = \frac{3}{3}x^3 = x^3 \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (2x^3 + 3x^2) \, dx = \frac{1}{2}x^4 + x^3 \] Agora, avaliamos de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{1}{2}x^4 + x^3 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{2}(1)^4 + (1)^3 \right) - \left( \frac{1}{2}(0)^4 + (0)^3 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{2} + 1 \right) - 0 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] Parece que houve um erro na avaliação. Vamos corrigir isso: \[ \left[ \frac{1}{2}x^4 + x^3 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{2}(1)^4 + (1)^3 \right) - \left( \frac{1}{2}(0)^4 + (0)^3 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{2} + 1 \right) - 0 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] Parece que a integral foi calculada corretamente, mas a resposta não está nas opções. Vamos rever as opções: A) \( \frac{1}{2} \) B) \( \frac{3}{4} \) C) \( 1 \) D) \( \frac{5}{8} \) Nenhuma das opções corresponde ao resultado \( \frac{3}{2} \). Portanto, você deve verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!