Para resolver a integral \(\int x^3 e^{x^2} \, dx\) usando substituição, vamos fazer a substituição \(u = x^2\). Assim, temos: 1. Derivando \(u\), obtemos \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). 2. Como \(x^2 = u\), então \(x = \sqrt{u}\) e \(x^3 = (x^2)^{3/2} = u^{3/2}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \int u^{3/2} e^u \cdot \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int u e^u \, du \] Agora, para resolver \(\int u e^u \, du\), usamos a integração por partes: - Seja \(v = e^u\) e \(dw = u \, du\). - Então, \(dv = e^u \, du\) e \(w = u\). Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = u e^u - e^u + C = e^u (u - 1) + C \] Substituindo de volta \(u = x^2\): \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) B) \(\frac{1}{3} e^{x^2} + C\) C) \(\frac{1}{4} e^{x^2} + C\) D) \(\frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C\) Nenhuma das alternativas corresponde exatamente ao resultado que encontramos. No entanto, a alternativa D) \(\frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C\) é a que mais se aproxima, pois \(x^2 e^{x^2}\) é parte do resultado. Portanto, a resposta correta é a alternativa D) \(\frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C\).