Problema 37: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). A) 0 B) 1 C) 2 D) Não existe

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \), podemos usar a propriedade do limite fundamental que diz que \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \). Neste caso, podemos reescrever o limite da seguinte forma: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 \] Agora, aplicamos a propriedade do limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1 \] Portanto, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 1 \cdot 2 = 2 \] Assim, a resposta correta é: C) 2.