Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), podemos fazer uma substituição. Note que \(4\) pode ser escrito como \(2^2\), então podemos reescrever a integral como: \[ \int \frac{1}{x^2 + 2^2} \, dx \] A integral \(\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx\) tem como resultado \(\frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\). Neste caso, \(a = 2\). Portanto, aplicando a fórmula, temos: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Analisando as alternativas: A) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) - Correta. B) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{4}\right) + C\) - Incorreta. C) \(4 \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. D) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\).