Para encontrar a projeção da fatia da publicidade on-line em um instante \( t \), precisamos integrar a função de taxa de crescimento \( R(t) = -0,033t^2 + 0,3428t + 0,07 \). A integral de \( R(t) \) nos dará a função \( S(t) \), que representa a fatia da publicidade on-line ao longo do tempo. Vamos integrar \( R(t) \): \[ S(t) = \int R(t) \, dt = \int (-0,033t^2 + 0,3428t + 0,07) \, dt \] Integrando cada termo: 1. \( \int -0,033t^2 \, dt = -0,011t^3 \) 2. \( \int 0,3428t \, dt = 0,1714t^2 \) 3. \( \int 0,07 \, dt = 0,07t \) Assim, temos: \[ S(t) = -0,011t^3 + 0,1714t^2 + 0,07t + C \] Onde \( C \) é a constante de integração. Para determinar \( C \), usamos a condição inicial dada: no início de 2000 (quando \( t = 0 \)), a fatia era de 2,9%. Portanto: \[ S(0) = 2,9 \implies C = 2,9 \] Assim, a função \( S(t) \) se torna: \[ S(t) = -0,011t^3 + 0,1714t^2 + 0,07t + 2,9 \] Agora, analisando as alternativas: A) \( S(t) = -0,011t^3 + 0,1714t^2 + 0,07t + 2,9 \) - Correta. B) \( S(t) = -0,011t^3 + 0,1714t^2 + 0,07t - 2,9 \) - Incorreta. C) \( S(t) = -0,011t^3 + 0,1714t^2 + 0,07t + C \) - Incorreta, pois não especifica \( C \). D) \( S(t) = -0,066t + 0,3428 + C \) - Incorreta, não corresponde à integral. E) \( S(t) = -0,066t + 0,3428 \) - Incorreta, não corresponde à integral. Portanto, a alternativa correta é a) \( S(t) = -0,011t^3 + 0,1714t^2 + 0,07t + 2,9 \).