Para encontrar séries de potências com intervalos de convergência específicos, podemos usar a forma geral de uma série de potências: \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n \] onde \( c \) é o centro da série e \( a_n \) são os coeficientes. Vamos analisar cada alternativa: (a) (p, q): Para que a série converja estritamente entre \( p \) e \( q \), podemos usar uma série como \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - c)^n}{n} \) com \( c \) escolhido entre \( p \) e \( q \). Assim, a série converge apenas para \( x \) estritamente entre \( p \) e \( q \). (b) (p, q]: Para que a série converja em \( (p, q] \), podemos usar uma série como \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - c)^n}{n} \) com \( c \) em \( (p, q) \) e garantir que a série converge em \( q \) (por exemplo, usando \( c = q - \epsilon \) para um pequeno \( \epsilon > 0 \)). (c) [p, q): Para que a série converja em \( [p, q) \), podemos usar uma série como \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - c)^n}{n} \) com \( c \) em \( (p, q) \) e garantir que a série converge em \( p \). (d) [p, q]: Para que a série converja em \( [p, q] \), podemos usar uma série como \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - c)^n}{n} \) com \( c \) em \( (p, q) \) e garantir que a série converge em ambos os extremos. Portanto, as séries de potências que atendem a cada intervalo de convergência são: - Para (a): \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - c)^n}{n} \) com \( c \) entre \( p \) e \( q \). - Para (b): \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - c)^n}{n} \) com \( c \) em \( (p, q) \) e convergindo em \( q \). - Para (c): \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - c)^n}{n} \) com \( c \) em \( (p, q) \) e convergindo em \( p \). - Para (d): \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - c)^n}{n} \) com \( c \) em \( (p, q) \) e convergindo em ambos os extremos. Assim, a resposta correta para cada intervalo de convergência é: (a) \( (p, q) \) - uma série que não converge nos extremos. (b) \( (p, q] \) - uma série que converge em \( q \). (c) \( [p, q) \) - uma série que converge em \( p \). (d) \( [p, q] \) - uma série que converge em ambos os extremos. Se precisar de mais detalhes sobre cada uma, é só avisar!