Para analisar a convergência das séries dadas, vamos usar o fato de que a série \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n 4^n\) é convergente. 1. Série (a): \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n (-2)^n\) - Podemos reescrever isso como \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n 4^n \left(\frac{-2}{4}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} c_n 4^n \left(-\frac{1}{2}\right)^n\). - Como \(\left(-\frac{1}{2}\right)^n\) é uma série geométrica com razão \(-\frac{1}{2}\), que é menor que 1 em módulo, a série \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n (-2)^n\) também converge. 2. Série (b): \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n (-4)^n\) - Isso pode ser reescrito como \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n 4^n (-1)^n\). - A série \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n 4^n\) é convergente, mas a série \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n 4^n (-1)^n\) não necessariamente converge, pois a convergência de uma série alternada depende do comportamento dos termos \(c_n\). Portanto, a resposta correta é que a série (a) é convergente, mas não podemos afirmar que a série (b) é convergente apenas com a informação dada. Se a pergunta pede para afirmar a convergência de ambas, a resposta correta seria apenas para a alternativa (a).