Para encontrar o intervalo de convergência da série dada pela função \( f(x) = 1 + 2x + x^2 + 2x^3 + x^4 + \ldots \), podemos reescrever a função separando os termos de acordo com os coeficientes: \[ f(x) = 1 + x^2 + x^4 + \ldots + 2x + 2x^3 + 2x^5 + \ldots \] Os termos com \( x^{2n} \) têm coeficiente 1 e os termos com \( x^{2n+1} \) têm coeficiente 2. Podemos reescrever a função como a soma de duas séries: 1. Para os termos \( x^{2n} \): \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{1 - x^2} \quad \text{(para } |x| < 1\text{)} \] 2. Para os termos \( 2x^{2n+1} \): \[ \sum_{n=0}^{\infty} 2x^{2n+1} = 2x \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = 2x \cdot \frac{1}{1 - x^2} = \frac{2x}{1 - x^2} \quad \text{(para } |x| < 1\text{)} \] Assim, a função \( f(x) \) pode ser expressa como: \[ f(x) = \frac{1}{1 - x^2} + \frac{2x}{1 - x^2} = \frac{1 + 2x}{1 - x^2} \] O intervalo de convergência da série é \( |x| < 1 \). Portanto, a fórmula explícita para \( f(x) \) é: \[ f(x) = \frac{1 + 2x}{1 - x^2} \quad \text{com intervalo de convergência } |x| < 1. \]