Verifique se o conjunto ???? = {(1, 2), (3, −3)} é uma base do ℝ2.

Para verificar se o conjunto \( S = \{(1, 2), (3, -3)\} \) é uma base do \( \mathbb{R}^2 \), precisamos checar se os vetores são linearmente independentes e se geram o espaço \( \mathbb{R}^2 \). 1. Linearmente Independentes: Os vetores são linearmente independentes se a única solução para a equação \( c_1(1, 2) + c_2(3, -3) = (0, 0) \) for \( c_1 = 0 \) e \( c_2 = 0 \). Montando o sistema: \[ c_1 + 3c_2 = 0 \\ 2c_1 - 3c_2 = 0 \] Resolvendo o sistema, podemos multiplicar a primeira equação por 2: \[ 2c_1 + 6c_2 = 0 \\ 2c_1 - 3c_2 = 0 \] Subtraindo as duas equações: \[ 9c_2 = 0 \implies c_2 = 0 \] Substituindo \( c_2 = 0 \) na primeira equação: \[ c_1 + 0 = 0 \implies c_1 = 0 \] Portanto, os vetores são linearmente independentes. 2. Geram \( \mathbb{R}^2 \): Como temos 2 vetores linearmente independentes em \( \mathbb{R}^2 \), eles geram todo o espaço \( \mathbb{R}^2 \). Conclusão: O conjunto \( S = \{(1, 2), (3, -3)\} \) é uma base do \( \mathbb{R}^2 \).