Para resolver o exercício, vamos determinar os conjuntos \( P \) e \( Q \) e, em seguida, calcular a união \( M = P \cup Q \). 1. Conjunto \( P \): \( P = \{x : x \in \mathbb{N} \land x \text{ é múltiplo de 3 menor que 320}\} \) - Os múltiplos de 3 menores que 320 são: 3, 6, 9, ..., 318. - O maior múltiplo de 3 menor que 320 é 318. - Para encontrar quantos múltiplos de 3 existem, usamos a fórmula do último termo de uma PA: \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \). - Aqui, \( a_1 = 3 \), \( a_n = 318 \), e \( r = 3 \). - Resolvendo: \( 318 = 3 + (n-1) \cdot 3 \) → \( 315 = (n-1) \cdot 3 \) → \( n-1 = 105 \) → \( n = 106 \). - Portanto, \( |P| = 106 \). 2. Conjunto \( Q \): \( Q = \{x : x \in \mathbb{N} \land x \text{ é par menor que 110}\} \) - Os números pares menores que 110 são: 2, 4, 6, ..., 108. - O maior par menor que 110 é 108. - Usando a mesma fórmula: \( a_1 = 2 \), \( a_n = 108 \), e \( r = 2 \). - Resolvendo: \( 108 = 2 + (n-1) \cdot 2 \) → \( 106 = (n-1) \cdot 2 \) → \( n-1 = 53 \) → \( n = 54 \). - Portanto, \( |Q| = 54 \). 3. Interseção \( P \cap Q \): Precisamos contar quantos elementos são múltiplos de 3 e pares (ou seja, múltiplos de 6) menores que 320. - Os múltiplos de 6 menores que 320 são: 6, 12, 18, ..., 318. - O maior múltiplo de 6 menor que 320 é 318. - Usando a fórmula: \( a_1 = 6 \), \( a_n = 318 \), e \( r = 6 \). - Resolvendo: \( 318 = 6 + (n-1) \cdot 6 \) → \( 312 = (n-1) \cdot 6 \) → \( n-1 = 52 \) → \( n = 53 \). - Portanto, \( |P \cap Q| = 53 \). 4. Cálculo da união: Usamos a fórmula da união de conjuntos: \[ |M| = |P| + |Q| - |P \cap Q| \] \[ |M| = 106 + 54 - 53 = 107 \] Portanto, \( |M| = 107 \).