Determine a derivada de terceira ordem da função ℎ ( ???? ) = ???? 6 + 3 ( ???? 2 + 4 ) 2 + 8 ???? + 4 h(x)=x 6 +3(x 2 +4) 2 +8x+4 A) 120 ???? 3 + 72 ???? 120x 3 +72x B) 30 ???? 4 + 36 ???? 2 30x 4 +36x 2 C) 30 ???? 3 + 72 ???? 30x 3 +72x D) 30 ???? 4 + 72 ???? 30x 4 +72x E) 120 ???? 3 + 12 120x 3 +12

Question

Determine a derivada de terceira ordem da função  ℎ ( ???? ) = ???? 6 + 3 ( ???? 2 + 4 ) 2 + 8 ???? + 4 h(x)=x  6  +3(x  2  +4)  2  +8x+4  A)  120 ???? 3 + 7...

Ed · Answer

Para determinar a derivada de terceira ordem da função $ h(x) = x^6 + 3(x^2 + 4)^2 + 8x + 4 $, vamos calcular as derivadas passo a passo.

1. **Primeira derivada $ h'(x) $**:
   - A derivada de $ x^6 $ é $ 6x^5 $.
   - Para $ 3(x^2 + 4)^2 $, usamos a regra da cadeia:
     - A derivada de $ (x^2 + 4)^2 $ é $ 2(x^2 + 4)(2x) = 4x(x^2 + 4) $.
     - Portanto, a derivada é $ 3 \cdot 4x(x^2 + 4) = 12x(x^2 + 4) $.
   - A derivada de $ 8x $ é $ 8 $.
   - A derivada de $ 4 $ é $ 0 $.

Assim, temos:
   $$
   h'(x) = 6x^5 + 12x(x^2 + 4) + 8
   $$

2. **Segunda derivada $ h''(x) $**:
   - A derivada de $ 6x^5 $ é $ 30x^4 $.
   - Para $ 12x(x^2 + 4) $, usamos a regra do produto:
     - $ 12(x^2 + 4) + 12x(2x) = 12(x^2 + 4) + 24x^2 = 12x^2 + 48 + 24x^2 = 36x^2 + 48 $.
   - A derivada de $ 8 $ é $ 0 $.

Assim, temos:
   $$
   h''(x) = 30x^4 + 36x^2 + 48
   $$

3. **Terceira derivada $ h'''(x) $**:
   - A derivada de $ 30x^4 $ é $ 120x^3 $.
   - A derivada de $ 36x^2 $ é $ 72x $.
   - A derivada de $ 48 $ é $ 0 $.

Portanto, a terceira derivada é:
   $$
   h'''(x) = 120x^3 + 72x
   $$

Agora, analisando as alternativas:
A) $ 120x^3 + 72x $ - Correto.
B) $ 30x^4 + 36x^2 $ - Incorreto.
C) $ 30x^3 + 72x $ - Incorreto.
D) $ 30x^4 + 72x $ - Incorreto.
E) $ 120x^3 + 12 $ - Incorreto.

A alternativa correta é a **A)** $ 120x^3 + 72x $.

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