Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma lemniscata de equação 3(x² + y²)² = 100xy no ponto (3,1).

Para calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico da lemniscata dada pela equação \(3(x² + y²)² = 100xy\) no ponto \((3,1)\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Derivar implicitamente a equação em relação a \(x\): \[ 3 \cdot 2(x^2 + y^2)(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = 100(y + x \frac{dy}{dx}) \] Simplificando, temos: \[ 6(x^2 + y^2)(x + y \frac{dy}{dx}) = 100(y + x \frac{dy}{dx}) \] 2. Substituir o ponto \((3,1)\) na equação: Primeiro, calculamos \(x^2 + y^2\) no ponto \((3,1)\): \[ x^2 + y^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10 \] Agora, substituímos \(x = 3\) e \(y = 1\) na derivada: \[ 6(10)(3 + 1 \frac{dy}{dx}) = 100(1 + 3 \frac{dy}{dx}) \] Isso se torna: \[ 180(3 + \frac{dy}{dx}) = 100(1 + 3 \frac{dy}{dx}) \] 3. Resolver a equação para \(\frac{dy}{dx}\): Expandindo e simplificando: \[ 540 + 180 \frac{dy}{dx} = 100 + 300 \frac{dy}{dx} \] Rearranjando: \[ 540 - 100 = 300 \frac{dy}{dx} - 180 \frac{dy}{dx} \] \[ 440 = 120 \frac{dy}{dx} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{440}{120} = \frac{11}{3} \] Portanto, a inclinação da reta tangente ao gráfico da lemniscata no ponto \((3,1)\) é \(\frac{11}{3}\).