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Suponha que a população de bactérias aeróbicas em um pequeno lago é modelada pela equação P(t) = 60/(5 + 7e^(-t)) onde P(t) é a população (em bilhões) t dias depois da observação inicial no tempo t = 0. (a) Desenhe o gráfico da função P(t) e descreva o que acontece com a população no decorrer do tempo. (b) Calcule P′(t) e descreva o que acontece com a taxa de crescimento populacional no decorrer do tempo.

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Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma lemniscata de equação 3(x² + y²)² = 100xy no ponto (3,1).

Calcule o coeficiente angular da tangente à elipse dada por x² + 4y² = 4 no ponto (2, -1/2).

(a) Calcule y ′ se x³ + y³ = 6xy. (b) Determine a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x³ + y³ = 6xy no ponto (3,3). (c) Qua é a inclinação da curva x³ + y³ = 6xy nos pontos (0,0), (3/16, 3/32) e (3/32, 3/16).

Suponha que os comprimentos dos lados x, y e z de uma caixa retangular estejam variando às seguintes taxas dx/dt = 1 m/s, dy/dt = -2 m/s, dz/dt = 1 m/s e os comprimentos dos lados x e z são sempre iguais. No instante em que x = z = 4 e y = 3, determine as taxas de variação: (a) do volume; (b) da superfície.

O volume de um tumor cancerígeno esférico é dado por V = πx³/6, onde x é o diâmetro do tumor. Um oncologista estima que o diâmetro está aumentando a uma taxa de 0,4 milímetros por dia, quando o diâmetro está em 10 milímetros. Com que rapidez o volume está aumentando nesse momento?

Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 pés da parede?

Para as funções a seguir, determine dy/dx: (a) y = ln(x²) (b) y = ln(10/x) (c) y = ln(2 - cosx) (d) y = x ln x - x (e) y = ln² ⋅ log₂x.

Seja uma colônia de moscas-das-frutas que está crescendo de acordo com a lei exponencial P(t) = 100e^(0,077t), em que P é a população e t é o número de dias. (a) Qual será o tamanho exato da colônia após 41 dias? (b) Com que rapidez estará crescendo a colônia neste período? (c) Esboce o gráfico da função P(t) e de sua derivada neste período. (d) Em que tempo a colônia terá 800 moscas?

Calcule a derivada da função. Simplifique onde possível. (a) h(x) = 1 - x² sin⁻¹x (b) y = tan⁻¹(cosx) (c) f(x) = (x + 1)arctan x - x (d) g(x) = r² arctan(2r) + tg³(4r) - sec⁴(r²)