Para determinar a reta tangente da função vetorial \( \mathbf{r}(t) = (\sin(2t), t + 3) \) no ponto \( t_0 = 0 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular \( \mathbf{r}(t_0) \): \[ \mathbf{r}(0) = (\sin(2 \cdot 0), 0 + 3) = (0, 3) \] 2. Calcular a derivada \( \mathbf{r}'(t) \): \[ \mathbf{r}'(t) = \left( \frac{d}{dt}(\sin(2t)), \frac{d}{dt}(t + 3) \right) = (2\cos(2t), 1) \] 3. Calcular \( \mathbf{r}'(t_0) \): \[ \mathbf{r}'(0) = (2\cos(2 \cdot 0), 1) = (2\cos(0), 1) = (2, 1) \] 4. Usar a fórmula da reta tangente: A reta tangente é dada por: \[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(t_0) + \mathbf{r}'(t_0)(t - t_0) \] Substituindo os valores: \[ \mathbf{r}(t) = (0, 3) + (2, 1)(t - 0) = (0 + 2t, 3 + 1t) = (2t, t + 3) \] Portanto, a reta tangente da função vetorial \( \mathbf{r}(t) \) no ponto \( t_0 = 0 \) é \( \mathbf{r}(t) = (2t, t + 3) \).