Qual é o resultado da integral definida ∫(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx no intervalo de 0 a 2? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18

Para resolver a integral definida \(\int_{0}^{2} (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\). 1. A antiderivada de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). 2. A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-\frac{3}{3}x^3 = -x^3\). 3. A antiderivada de \(4x\) é \(2x^2\). 4. A antiderivada de \(-1\) é \(-x\). Portanto, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x \] Agora, vamos calcular \(F(2)\) e \(F(0)\): - Para \(F(2)\): \[ F(2) = \frac{1}{2}(2^4) - (2^3) + 2(2^2) - 2 = \frac{1}{2}(16) - 8 + 2(4) - 2 = 8 - 8 + 8 - 2 = 6 \] - Para \(F(0)\): \[ F(0) = \frac{1}{2}(0^4) - (0^3) + 2(0^2) - 0 = 0 \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_{0}^{2} (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1) \, dx = F(2) - F(0) = 6 - 0 = 6 \] Parece que não há uma opção correta entre as alternativas fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a função a ser integrada está correta.