geometria com argumento 9E8II

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Questão: Qual é a derivada da função \(f(x) = \ln(x^2)\) em relação a \(x\)? 
 
Alternativas: 
a) \(2x\) 
b) \(\frac{2}{x}\) 
c) \(\frac{1}{x^2}\) 
d) \(\frac{2x}{x^2}\) 
 
Resposta: c) \(\frac{1}{x^2}\) 
 
Explicação: Primeiro, podemos reescrever a função \(f(x) = \ln(x^2)\) como \(f(x) = 
2\ln(x)\) usando a propriedade dos logaritmos \(\ln(a^b) = b\ln(a)\). 
 
Agora, para derivar a função \(f(x) = 2\ln(x)\), utilizamos a regra da cadeia. A derivada da 
função natural \(\ln(x)\) é \(\frac{1}{x}\), então a derivada de \(2\ln(x)\) é 
\(2*\frac{1}{x} = \frac{2}{x}\). 
 
Portanto, a derivada da função original em relação a \(x\) é \(\frac{1}{x^2}\). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = cos(x) + 2x^3 - ln(x)? 
 
Alternativas: 
a) -sen(x) + 6x^2 
b) -sen(x) + 6x^3 
c) -cos(x) + 6x^2 
d) -cos(x) + 6x^3 
 
Resposta: d) -cos(x) + 6x^2 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), devemos derivar cada termo 
separadamente. A derivada de cos(x) é -sen(x), a derivada de 2x^3 é 6x^2, e a derivada de 
ln(x) é 1/x. Portanto, a derivada da função f(x) é -sen(x) + 6x^2 - 1/x. Simplificando, 
obtemos -cos(x) + 6x^2, que corresponde à alternativa d). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 - 2x + 5? 
 
Alternativas: 
a) 6x - 2 
b) 3x^2 - 2x 
c) 6x - 2x 
d) 6x - 2 
 
Resposta: a) 6x - 2 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função, utilizamos a regra do poder, que consiste 
em multiplicar o coeficiente do termo pelo expoente e depois diminuir 1 do expoente. 
Portanto, a derivada da função f(x) = 3x^2 - 2x + 5 é igual a 6x - 2. 
 
Questão: Qual é a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)? 
 
Alternativas: 
a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
b) \( \frac{2x}{2x^2 + 1} \) 
c) \( \frac{2x}{x^2}\) 
d) \( \frac{2x}{\ln(x^2 + 1)}\) 
 
Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 
Explicação: A derivada da função \( \ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \). Portanto, para derivar \( 
\ln(x^2 + 1) \) aplicamos a regra da cadeia. Assim, a derivada de \( \ln(x^2 + 1) \) em 
relação a \( x \) é \( \frac{1}{x^2 + 1} \) vezes a derivada do interior da função, que é \( 2x 
\), resultando em \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
Questão: Qual é o resultado da integral definida ∫(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx no intervalo de 0 a 
2? 
 
Alternativas: 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 18 
 
Resposta: c) 16 
 
Explicação: Para resolver essa questão, primeiramente devemos calcular a integral 
indefinida da função dada, que resulta em (1/2)x^4 - x^3 + 2x^2 - x. Em seguida, para 
encontrar o valor da integral definida no intervalo de 0 a 2, devemos substituir o limite 
superior (2) na função e subtrair o valor obtido ao substituir o limite inferior (0). 
 
Assim, temos: 
[(1/2)(2^4) - 2^3 + 2(2)^2 - 2] - [(1/2)(0^4) - 0^3 + 2(0)^2 - 0] 
= [(1/2)(16) - 8 + 8 - 2] - [0]