Representar a distância entre o ponto P(6,4,3) e o plano A(4,1,7), B(7,5,1) C(10,3,6).

Para encontrar a distância entre o ponto \( P(6, 4, 3) \) e o plano definido pelos pontos \( A(4, 1, 7) \), \( B(7, 5, 1) \) e \( C(10, 3, 6) \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar o vetor normal do plano: - Calcule os vetores \( \vec{AB} \) e \( \vec{AC} \): \[ \vec{AB} = B - A = (7 - 4, 5 - 1, 1 - 7) = (3, 4, -6) \] \[ \vec{AC} = C - A = (10 - 4, 3 - 1, 6 - 7) = (6, 2, -1) \] - O vetor normal \( \vec{n} \) do plano é dado pelo produto vetorial \( \vec{AB} \times \vec{AC} \): \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -6 \\ 6 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 \cdot -1 - (-6) \cdot 2) - \hat{j}(3 \cdot -1 - (-6) \cdot 6) + \hat{k}(3 \cdot 2 - 4 \cdot 6) \] \[ = \hat{i}(-4 + 12) - \hat{j}(-3 + 36) + \hat{k}(6 - 24) \] \[ = \hat{i}(8) - \hat{j}(33) + \hat{k}(-18) \] \[ \vec{n} = (8, -33, -18) \] 2. Encontrar a equação do plano: - A equação do plano na forma \( Ax + By + Cz + D = 0 \) pode ser encontrada usando o ponto \( A \) e o vetor normal \( \vec{n} \): \[ 8(x - 4) - 33(y - 1) - 18(z - 7) = 0 \] \[ 8x - 32 - 33y + 33 - 18z + 126 = 0 \] \[ 8x - 33y - 18z + 127 = 0 \] 3. Calcular a distância do ponto ao plano: - A fórmula para a distância \( d \) de um ponto \( (x_0, y_0, z_0) \) a um plano \( Ax + By + Cz + D = 0 \) é: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] - Substituindo \( P(6, 4, 3) \) e os coeficientes do plano: \[ d = \frac{|8(6) - 33(4) - 18(3) + 127|}{\sqrt{8^2 + (-33)^2 + (-18)^2}} \] \[ = \frac{|48 - 132 - 54 + 127|}{\sqrt{64 + 1089 + 324}} \] \[ = \frac{|48 - 132 - 54 + 127|}{\sqrt{1477}} \] \[ = \frac{|-11|}{\sqrt{1477}} = \frac{11}{\sqrt{1477}} \] Portanto, a distância entre o ponto \( P(6, 4, 3) \) e o plano é \( \frac{11}{\sqrt{1477}} \).