Questão: Qual é a resolução da equação diferencial y'' - 4y' + 4y = 0? a) y = e^2x + xe^2x b) y = (1 + x)e^2x c) y = e^2x d) y = 1 + x + xe^2x

Para resolver a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \), primeiro identificamos que se trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. 1. Encontrar a equação característica: A equação característica associada é \( r^2 - 4r + 4 = 0 \). 2. Resolver a equação característica: Essa equação pode ser fatorada como \( (r - 2)^2 = 0 \), o que nos dá uma raiz dupla \( r = 2 \). 3. Forma geral da solução: Para uma raiz dupla \( r = 2 \), a solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x} \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. Agora, analisando as alternativas: a) \( y = e^{2x} + xe^{2x} \) - Esta forma é equivalente a \( (1 + x)e^{2x} \), mas não é a forma mais geral. b) \( y = (1 + x)e^{2x} \) - Esta é a forma correta da solução geral. c) \( y = e^{2x} \) - Esta é uma solução particular, mas não a geral. d) \( y = 1 + x + xe^{2x} \) - Esta não é a forma correta. Portanto, a alternativa correta é: b) y = (1 + x)e^{2x}.