Qual é o valor da integral definida da função f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1 no intervalo [0,2]? a) 20 b) 28 c) 32 d) 36

Para calcular o valor da integral definida da função \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1 \) no intervalo \([0, 2]\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a primitiva (antiderivada) da função \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x^3 - 3x^2 + 4x + 1) \, dx = \frac{2}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + \frac{4}{2}x^2 + x + C = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 + x + C \] 2. Calcular a integral definida de \( F(x) \) no intervalo \([0, 2]\): \[ \int_0^2 (2x^3 - 3x^2 + 4x + 1) \, dx = F(2) - F(0) \] - Calculando \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{1}{2}(2^4) - (2^3) + 2(2^2) + 2 = \frac{1}{2}(16) - 8 + 8 + 2 = 8 - 8 + 8 + 2 = 10 \] - Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = \frac{1}{2}(0^4) - (0^3) + 2(0^2) + 0 = 0 \] 3. Substituindo os valores: \[ \int_0^2 (2x^3 - 3x^2 + 4x + 1) \, dx = F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10 \] Parece que houve um erro na análise das opções, pois o resultado da integral não está entre as alternativas apresentadas. Você pode verificar os cálculos ou as opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!