Para encontrar a forma exponencial do número complexo \( z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \), precisamos identificar o módulo e o argumento do número complexo. 1. Módulo: O módulo \( r \) é dado por: \[ r = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1 \] 2. Argumento: O argumento \( \theta \) pode ser encontrado usando a função tangente: \[ \tan(\theta) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \] O ângulo cuja tangente é \( -\sqrt{3} \) e que está no segundo quadrante (onde a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva) é \( \frac{2\pi}{3} \). Portanto, a forma exponencial de \( z \) é: \[ z = re^{i\theta} = 1 \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} = e^{i\frac{2\pi}{3}} \] Analisando as alternativas: a) \( e^{i\frac{\pi}{3}} \) - Incorreto. b) \( e^{-i\frac{2\pi}{3}} \) - Incorreto. c) \( e^{i\frac{5\pi}{3}} \) - Incorreto. d) \( e^{i\frac{2\pi}{3}} \) - Correto. Portanto, a alternativa correta é: d) e^{i\frac{2\pi}{3}}.