Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 1)^{3} \, dx \), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever \( x^3 + 2x^2 + 1 \) como \( (x^2 + 1)(x + 1) \). No entanto, para resolver a integral, é mais prático expandir \( (x^3 + 2x^2 + 1)^{3} \) e integrar termo a termo. 1. Expandindo \( (x^3 + 2x^2 + 1)^{3} \) usando o Teorema do Binômio, obtemos uma série de termos que podem ser integrados individualmente. 2. Após a expansão, integramos cada termo de \( x^3, x^2, x \) e a constante de 1 entre 0 e 1. Após realizar a integral, encontramos que o valor da integral é \( \frac{1}{4} \). Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{4} \).