Qual é o resultado da integral \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx \)? a) \( \frac{1}{4} \) b) \( \frac{1}{5} \) c) \( \frac{1}{6} \) d) \( \frac{1}{3} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] 2. Integral de \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^3 + 3x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + x^3 \] Agora, precisamos avaliar essa expressão de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{x^4}{4} + x^3 \right]_0^1 = \left( \frac{1^4}{4} + 1^3 \right) - \left( \frac{0^4}{4} + 0^3 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{4} + 1 \right) - 0 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4} \] Parece que houve um erro na interpretação da pergunta, pois a soma não está entre as opções. Vamos verificar a integral novamente. A integral correta é: \[ \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x^3 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + 1 \right) = \frac{5}{4} \] Entretanto, como a pergunta pede um resultado entre as opções dadas, parece que a integral foi mal interpretada. Vamos calcular novamente: \[ \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x^3 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + 1 \right) = \frac{5}{4} \] Nenhuma das opções corresponde ao resultado correto. Você pode querer revisar a pergunta ou as opções. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!