Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (1 - x^4)^{3} \, dx \)? a) \( \frac{1}{6} \) b) \( \frac{1}{10} \) c) \( \frac{1}{12} \) d) \( \frac{1}{15} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (1 - x^4)^{3} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = 1 - x^4 \). Assim, temos: 1. Derivando, obtemos \( du = -4x^3 \, dx \) ou \( dx = -\frac{du}{4x^3} \). 2. Quando \( x = 0 \), \( u = 1 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 0 \). 3. A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^3 \left(-\frac{du}{4(1-u)^{3/4}}\right) \] 4. Isso simplifica para: \[ \frac{1}{4} \int_0^1 u^3 (1-u)^{-3/4} \, du \] 5. Essa integral pode ser resolvida usando a função beta ou a fórmula de integração por partes. Após calcular, encontramos que o valor da integral é \( \frac{1}{15} \). Portanto, a alternativa correta é: d) \( \frac{1}{15} \).