Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{x}\). a) 0 b) 1 c) 4 d) Não existe

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma inicial é indeterminada do tipo \(\frac{0}{0}\). 1. Derivamos o numerador e o denominador: - A derivada de \(\ln(1 + 4x)\) é \(\frac{4}{1 + 4x}\). - A derivada de \(x\) é \(1\). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{4}{1 + 4x} \] 3. Agora, substituímos \(x = 0\): \[ \frac{4}{1 + 4(0)} = \frac{4}{1} = 4 \] Portanto, o limite é \(4\). A alternativa correta é: c) 4.